Środa, 12 grudnia 2018 • 346 dzień roku • Imieniny: Aleksandra, Adelajdy, Dagmary Kontakt

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny z uwagi na powszechne wykorzystanie, także w matematyce finansowej np. przy obliczaniu wartości bieżącej rent terminowych i wieczystych zasługuje na odrębne omówienie. Dany ciąg xn nazywamy ciągiem geometrycznym, jeśli

(1)

gdzie q jest stałą rzeczywistą, a xn jest różne od zera.

Suma n pierwszych wyrazów ciągu

Można pokazać, że w przypadku gdy q jest różne od 1, sumę n początkowych kolejnych wyrazów (n-tą sumę częściową) ciągu geometrycznego xn można przedstawić za pomocą następującego wzoru:

(2)

Oczywiście, jeśli q = 1, to Sn = nx1.

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Sumą nieskończonego ciągu geometrycznego xn lub inaczej sumą szeregu geometrycznego nazywamy granicę ciągu sum częściowych Sn. Łatwo zauważyć, że jeśli wartość bezwzględna q jest mniejsza od jedności, to ciąg Sn jest zbieżny.

(3)

Zbieżność szeregu (zbieżność odpowiedniego ciągu sum częściowych Sn) oznacza, że suma wyrazów nieskończonego ciągu (suma wszystkich wyrazów danego ciągu) jest liczbą skończoną. W rozważanym przypadku ciągu geometrycznego fakt ten możemy zatem zapisać w następującej postaci:

(4)

Z powyższego wzoru korzystaliśmy obliczając wartość bieżącą nieskończonego strumienia przyszłych płatności w przypadku renty wieczystej.

Zobacz też:

Szereg geometryczny

Granica ciągu