Środa, 12 grudnia 2018 • 346 dzień roku • Imieniny: Aleksandra, Adelajdy, Dagmary Kontakt

Granica ciągu

Istnieją dwie definicje granicy ciągu: Cauchy'ego i Heinego. Definicje te są równoważne, tzn. liczba rzeczywista a jest granicą danego ciągu xn zgodnie z definicją Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy a jest granicą ciągu xn zgodnie z definicją Heinego.

Definicja Cauchy'ego

Liczbę rzeczywistą a nazywamy granicą ciągu xn, wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi poniższy warunek:

(1)

Definicja Heinego

Liczbę rzeczywistą a nazywamy granicą ciągu xn, wtedy i tylko wtedy, gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu xn znajdują się w dowolnym otoczeniu liczby a.

Jeśli liczba a jest granicą ciągu xn, to mówimy, że ciąg xn jest zbieżny do a i zapisujemy symbolicznie w postaci:

(2)

Z uwagi na opisowe i tym samym bardziej przystępne sformułowanie w dalszym ciągu artykułu będziemy posługiwali się definicją Heinego. Ważne dla prawidłowego zrozumienia tej definicji jest wyjaśnienie, co rozumiemy przez pojęcia: prawie wszystkie wyrazy ciągu i dowolne otoczenie danej liczby rzeczywistej.

Prawie wszystkie wyrazy ciągu - wszystkie wyrazy danego ciągu poza skończoną ich liczbą.

Często popełnianym błędem jest utożsamianie prawie wszystkich wyrazów ciągu z nieskończoną liczbą wyrazów ciągu, podczas gdy nie są to pojęcia równoważne. Oczywiście, prawie wszystkie wyrazy ciągu zawsze są nieskończoną ich ilością, jednak nie każda nieskończona liczba wyrazów ciągu oznacza wszystkie wyrazy za wyjątkiem skończonej ich ilości. Na przykład, wybierając z ciągu wyrazy o parzystych indeksach, otrzymujemy nieskończoną ilość wyrazów, jednak wyrazów o indeksach nieparzystych jest również nieskończenie wiele, więc zgodnie z przyjętą definicją ani wyrazy o parzystych, ani te o nieparzystych indeksach nie są prawie wszystkimi wyrazami żadnego ciągu.

Dowolne otoczenie danej liczby rzeczywistej a - dowolny przedział, którego a jest środkiem, czyli (a-δ, a+δ), gdzie δ jest dowolną liczbą dodatnią.

Wymóg, żeby prawie wszystkie wyrazy danego ciągu znajdowały się w dowolnym otoczeniu danej liczby a oznacza, że prawie wszystkie wyrazy muszą zawierać się w każdym przedziale, którego a jest środkiem, niezależnie od tego, jak mały jest to przedział.

Przykład 1.

Pokażemy wprost z definicji Heinego, że

(3)

Zgodnie z definicją liczba rzeczywista jest granicą ciągu, gdy prawie wszystkie wyrazy tego ciągu znajdują się w dowolnym otoczeniu tej liczby. Niech zatem δ będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna większa od niej, zatem istnieje n0, dla którego zachodzi:

(4)

Z powyższej nierówności wynika, że dla każdego n>n0 mamy:

(5)

Nierówność (5) oznacza, że prawie wszystkie wyrazy badanego ciągu znajdują się w w dowolnym otoczeniu liczby 0, zatem zgodnie z definicją Heinego ciąg ten jest zbieżny do 0.

Przykład 2.

Ciąg xn=(-1)n nie posiada granicy. Wynika to z tego, że nieskończona liczba wyrazów tego ciągu jest równa 1 (wyrazy o indeksach parzystych) i jednocześnie nieskończona liczba wyrazów równa jest -1 (wyrazy o indeksach nieparzystych), więc nie istnieje taka liczba rzeczywista, żeby prawie wszystkie wyrazy ciągu znajdowały się w dowolnym jej otoczeniu.

Zobacz też:

Kapitalizacja ciągła

Liczba Eulera