Środa, 20 lutego 2019 • 51 dzień roku • Imieniny: Leona, Ludomiła, Lubomira Kontakt

Kapitalizacja ciągła

Jak wiadomo, częstość kapitalizacji odsetek ma wpływ na przyszłą wartość zainwestowanego kapitału w taki sposób, że im większa jest ta częstość tym większa wartość kapitału w przyszłości. W związku z tym powstaje pytanie co się stanie, gdy liczba kapitalizacji w danym okresie będzie zmierzać do nieskończoności. Przez kapitalizację ciągłą rozumiemy właśnie taką sytuację, tj. w której kapitalizacja odsetek odbywa się częściej niż dowolnie mały (dodatni) okres czasu.

Rozważmy roczną inwestycję (np. lokatę). Niech C oznacza inwestowany kapitał, I roczne oprocentowanie nominalne, a K liczbę kapitalizacji odsetek w roku. Wartość przyszłą FV tej inwestycji możemy przedstawić za pomocą następującego wzoru:

 (1)

Obliczenie FV przy kapitalizacji ciągłej sprowadza się zatem do znalezienia granicy ciągu:

 (2)

Ponieważ

 (3)

oraz

 (4)

więc

 (5)

W bardziej ogólnym przypadku, gdy chcemy obliczyć wartość przyszłą dla inwestycji trwającej N lat, stosujemy wzór:

 (6)

gdzie

FV - wartość przyszła (Future Value),

C - kapitał, którego wartość przyszłą obliczamy,

I - nominalna stopa procentowa,

K - częstość kapitalizacji odsetek w roku,

N - czas trwania inwestycji w latach,

e - liczba Eulera.

Przykład.

Oprocentowanie nominalne półtorarocznej lokaty o kapitalizacji ciągłej wynosi 10%. Jaka będzie wartość przyszła zainwestowanej kwoty 1000 PLN w dniu zapadalności lokaty?

Dane zawarte w treści przykładu:

zainwestowany kapitał C = 1000 PLN,

oprocentowanie lokaty I = 0,1 (10%),

czas trwania lokaty w latach N = 1,5.

Po wstawieniu powyższych danych do wzoru (6) i prostych obliczeniach otrzymujemy wartość przyszłą FV = 1161,83 (w zaokrągleniu do pełnych groszy).

Uwagi:

1. Za każdym razem, gdy w powyższym tekscie mowa o stopach procentowych, chodzi o stopy roczne, nawet gdy nie jest to explicite zaznaczone.

2. Stała e, to liczba Eulera, w przybliżeniu równa 2,71.

Zobacz też:

Wartość bieżąca PV (Present Value)

Wartość przyszła FV (Future Value)