Kapitalizacja ciągła
Jak wiadomo, częstość kapitalizacji odsetek ma wpływ na przyszłą wartość zainwestowanego kapitału w taki sposób, że im większa jest ta częstość tym większa wartość kapitału w przyszłości. W związku z tym powstaje pytanie co się stanie, gdy liczba kapitalizacji w danym okresie będzie zmierzać do nieskończoności. Przez kapitalizację ciągłą rozumiemy właśnie taką sytuację, tj. w której kapitalizacja odsetek odbywa się częściej niż dowolnie mały (dodatni) okres czasu.
Rozważmy roczną inwestycję (np. lokatę). Niech C oznacza inwestowany kapitał, I roczne oprocentowanie nominalne, a K liczbę kapitalizacji odsetek w roku. Wartość przyszłą FV tej inwestycji możemy przedstawić za pomocą następującego wzoru:
![]() |
(1) |
Obliczenie FV przy kapitalizacji ciągłej sprowadza się zatem do znalezienia granicy ciągu:
![]() |
(2) |
Ponieważ
![]() |
(3) |
oraz
![]() |
(4) |
więc
![]() |
(5) |
W bardziej ogólnym przypadku, gdy chcemy obliczyć wartość przyszłą dla inwestycji trwającej N lat, stosujemy wzór:
![]() |
(6) |
gdzie
FV - wartość przyszła (Future Value),
C - kapitał, którego wartość przyszłą obliczamy,
I - nominalna stopa procentowa,
K - częstość kapitalizacji odsetek w roku,
N - czas trwania inwestycji w latach,
e - liczba Eulera.
Przykład.
Oprocentowanie nominalne półtorarocznej lokaty o kapitalizacji ciągłej wynosi 10%. Jaka będzie wartość przyszła zainwestowanej kwoty 1000 PLN w dniu zapadalności lokaty?
Dane zawarte w treści przykładu:
zainwestowany kapitał C = 1000 PLN,
oprocentowanie lokaty I = 0,1 (10%),
czas trwania lokaty w latach N = 1,5.
Po wstawieniu powyższych danych do wzoru (6) i prostych obliczeniach otrzymujemy wartość przyszłą FV = 1161,83 (w zaokrągleniu do pełnych groszy).
Uwagi:
1. Za każdym razem, gdy w powyższym tekscie mowa o stopach procentowych, chodzi o stopy roczne, nawet gdy nie jest to explicite zaznaczone.
2. Stała e, to liczba Eulera, w przybliżeniu równa 2,71.
Zobacz też: