Środa, 12 grudnia 2018 • 346 dzień roku • Imieniny: Aleksandra, Adelajdy, Dagmary Kontakt

Liczba Eulera

Liczba Eulera, to obok liczby π, druga najbardziej znana stała matematyczna. Podobnie jak π liczba Eulera jest liczbą niewymierną, tj. nie można jej zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Istnieje kilka możliwych definicji liczby Eulera, jednak zazwyczaj definiujemy ją jako granicę następującego ciągu

(1)

Korzystając z rozwinięcia dwumianu Newtona, można pokazać, że powyższy ciąg jest rosnący i ograniczony z góry, a z tego wynika, że istnieje liczba rzeczywista, do której ciąg ten jest zbieżny. Tym sposobem dochodzimy do definicji liczby Eulera jako granicy ciągu (1)

(2)

Leonhard Euler, uznawany za jednego z najwybitniejszych matematyków wszech czasów, w swoim dziele Introductio in Analysin infinitorum opublikowanym w 1748 roku, wprowadził oznaczenie e jako podstawy logarytmu naturalnego (jest on także autorem obecnie używanego zapisu funkcji jako f(x)). Istnieją trzy wyjaśnienia użycia w tym celu litery e: pierwsze, chyba najbardziej powszechne i zarazem najmniej wiarygodne, to e jako pierwsza litera nazwiska Eulera, drugie, to e jako pierwsza litera słowa exponential (wykładniczy) i ostatnie, moim zdaniem najbardziej rozsądne wyjaśnienie, zgodnie z którym oznaczenie e zostało użyte jako druga samogłoska alfabetu po literze a, której to Euler już w swojej pracy używał. W swoim dziele Euler pokazał między innymi zbieżność ciągu (1) do e, a także fakt, że e można przedstawić jako sumę pewnego szeregu:

(3)

Prawdopodobnie, posługując się powyższym szeregiem, Euler obliczył e z dokładnością do 18 miejsc po przecinku:

(4)

Dowód niewymierności liczby Eulera

Zauważmy, że

(5)
(6)

Równość w powyższym wzorze otrzymujemy, obliczając sumę nieskończonego ciągu geometrycznego zawartego w nawiasie.

Z powyższego wynika, że istnieje dodatnia i mniejsza od 1 liczba θ, taka, że

(7)

Załóżmy nie wprost, że liczba Eulera jest liczbą wymierną, tzn. że możemy ją zapisać w następującej postaci:

(8)

Jeśli następnie pomnożymy obie strony powyższego równania przez n!, to po lewej stronie otrzymamy liczbę całkowitą, natomiast po prawej stronie liczbę całkowitą + ułamek θ/n, co prowadzi do sprzeczności i oznacza, że e nie jest liczbą wymierną, zatem musi być niewymierna.

Zobacz też:

Granica ciągu

Kapitalizacja ciągła