Środa, 12 grudnia 2018 • 346 dzień roku • Imieniny: Aleksandra, Adelajdy, Dagmary Kontakt

Renta terminowa

Rentę terminową definiujemy jako skończony strumień (ciąg) równych płatności. Renta terminowa może być płacona z dołu lub z góry. Obliczenie wartości bieżącej FV danej renty terminowej polegającej na n-krotnej wypłacie kwoty R sprowadza się do obliczenia wartości bieżącej poszczególnych n płatności R i ich zsumowaniu. Dla renty płaconej z dołu, tj. na koniec każdego okresu mamy:

(1)
(2)

W przypadku renty płaconej z góry, tj. na początku każdego okresu mamy natomiast:

(3)
(4)

Przez r oznaczona została stopa procentowa, według której dyskontowane są przyszłe płatności R. Zauważmy, że z przytoczonych powyżej wzorów wynika, że renta terminowa n płatności z góry może być przedstawiona jako suma pierwszej płatności dokonanej w chwili 0 oraz renty n-1 płatności dokonywanych z dołu. W obu przypadkach mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym, zatem do obliczenia powyższych sum możemy wykorzystać wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego.

Przykład.

Załóżmy, że samodzielnie oszczędzamy na swoją emeryturę i w związku z tym na koniec każdego miesiąca przez kolejne 30 lat odkładamy kwotę 300 PLN, którą lokujemy na rachunku bankowym z miesięczną kapitalizacją. Na jaką comiesięczną kwotę możemy liczyć, jeśli zamierzamy ją otrzymywać przez 10 kolejnych lat po zakończeniu oszczędzania. Załóżmy, że nominalna stopa procentowa w okresie oszczędzania wynosi 5%, a w okresie wypłaty renty 4%.

Obliczmy najpierw wartość przyszłą odkładanych sum na koniec 30 letniego okresu oszczędzania. Ponieważ wartość przyszłą pojedynczej kwoty 300 PLN wpłacanej na rachunek bankowy na koniec n-tego miesiąca możemy zapisać w postaci:

(5)

zatem kwota, jaką będziemy dysponowali na koniec okresu oszczędzania wynosi:

(6)

Znając wielkość posiadanego kapitału na koniec okresu oszczędzania, możemy korzystając ze wzoru (2), obliczyć wysokość kwoty R płatnej miesięcznie przez następne 10 lat:

(7)

Reasumując: comiesięczne odkładanie po 300 PLN przez 30 lat daje nam po zakończeniu okresu oszczędzania 10- letnią rentę w wysokości 2528 PLN miesięcznie.

Zobacz też:

Wartość bieżąca PV (Present Value)

Renta wieczysta